手前味噌は四字熟語なのか

クイズヘキサゴンの問題で、「ある調味料の名前を含む、自分で自分のことをほめるという意味の四字熟語は？」（答えは「手前味噌」）というのがあった。で、ずっとなにかひっかかるものがあったのだが、ついさっき、それがなにが分かった。
つまり、「手前味噌」は「四字熟語」なのか、という問題だ。
といっても、まぁ、四字だし熟語のテイをなしているのだから四字熟語といって特にさしつかえはないのだろうが、少なくとも漢語ではないだろう。いや漢語でなければ四字熟語ではないのかと言われるとちょっとそのへんの定義はよくわからんのだが、四字熟語を問う問題を聞いたときに「自画自賛……じゃないし……なんだろう？」と思い、答えを聞いたら「手前味噌」だといわれた時に、オレの脳内で「手前味噌」が四字熟語のカテゴリに分類されてなかったので答えを聞いてもなんとなくすっきりしない感覚を覚えたのは確かだ。
でも和語の四字熟語もあるのかな、と考えた結果、「青息吐息」があることに気づいた。あと「岡目八目」とか。
他になんかないかと適当に検索して調べてたら四字熟語の中に「万有引力」が載せてあって一気にやる気ダウン。それが四字熟語としてアリならもうなんでもアリだよ。